（1）∵定义域为R，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函数．

（2）f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，

当a＞1时

∵x≥0

∴a^x+1≥2，

∴0＜

2

ax+1

≤1，

即f（x）的值域为[0，1）；

当0＜a＜1时

∵x≥0

∴1＜a^x+1≤2，

∴1≤

2

ax+1

＜2，

即f（x）的值域为（-1，0]．

∴当a＞1时，f（x）的值域为[0，1）；当0＜a＜1时，f（x）的值域为（-1，0]．

（3）当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数

设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0

∵分母大于零，且a x 1＜a x 2，

∴f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）是R上的增函数．