问题
解答题
已知函数f（x）=2x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
答案
（1）F(x)max=1+a，a＞- 1 2
，a≤-1 4a 1 2
（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2-at＞1或t2-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得a＜(t-
)max或a＞(t+1 t
)min1 t
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为
≤2x+a恒成立x+1
∴a≥(-2x+
)maxx+1
设m（x）=-2x+
令x+1
=t，则x=t2-1，t∈[1，4]x+1
∴m(t)=-2(t2-1)+t=-2(t-
)2+1 4 17 8
所以，当t=1时，m（x）max=1∴a≥1