已知数列{an}的首项a1=2，∀n∈N*，点（an，an+1）都在直线x-2y

问题解答题

已知数列{a_n}的首项a₁=2，∀n∈N^*，点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上．

（1）证明：数列{a_n-1}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）证明：∵点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上，∴a_n-2a_n+1+1=0，

变形为a_n-1=2（a_n+1-1），an+1-1=

(an-1)，又a₁-1=1≠0，

∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为1，公比为

．

（2）由（1）得an-1=1×(

)n-1，

∴an=1+21-n．

（3）Sn=(1+20)+(1+2-1)+(1+2-2)+…+(1+21-n)

=n+（2⁰+2^-1+2^-2+…+2^1-n）

=n+

1-2-n

1-2-1

=n+2-2^1-n．