在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=

问题解答题

在二项式定理这节教材中有这样一个性质：C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³+…C_nⁿ=2ⁿ，n∈N

（1）计算1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³的值方法如下：

设S=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³又S=4•C₃³+3•C₃²+2•C₃¹+1•C₃⁰

相加得2S=5•C₃⁰+5•C₃¹+5•C₃²+5•C₃³即2S=5•2³

所以2S=5•2²=20利用类似方法求值：1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²，1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴

（2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明

（3）设S_n是首项为a₁，公比为q的等比数列{a_n}的前n项的和，求S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+S₄C_n³+…+S_n+1C_nⁿ，n∈N．

答案

（1）设S=1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²又S=3•C₂²+2•C₂¹+1•C₂⁰

相加2S=4（C₂⁰+C₂¹+C₂²）=16，S=8

设S=1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴

又S=5•C₄⁴+4•C₄³+3•C₄²+2•C₄¹+1•C₄⁰

相加2S=6（C₃⁰+C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴），∴S=3•2⁴=48

（2）1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+（n+1）C_nⁿ=（n+2）•2^n-1

设S=1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+（n+1）C_nⁿ

又S=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+1•C_n⁰

相加2S=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）∴S=

n+2

•2n=(n+2)•2n-1

（3）当q=1时 S_n=na₁S₁C_n⁰+S₂C_n¹+…+S_n+1C_nⁿ

=a₁C_n⁰+2a₁C_n¹+…+（n+1）a₁C_nⁿ

=a₁（1•C_n⁰+2•C_n¹+…+（n+1）C_nⁿ）

=a₁•（n+2）•2^n-1

当q≠1时 Sn=

a1(1-qn)

1-q

S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+…+S_n+1C_nⁿ=(

1-q

q2)

+…+(

1-q

qn+1)

1-q

(

+…+

1-q

+q2

+…+qn+1

)

1-q

•2n-

1-q

•q(

•q0+

•q1+…+

qn)

1-q

•2n-

1-q

•q(1+q)n=

a1•2n

1-q

a1q(1+q)n

1-q

综上，q=1时 S₁C_n⁰+…+S_n+1C_nⁿ=a₁（n+2）•2^n-1q≠1时S1

+…+Sn+1

a1•2n

1-q

a1q(1+q)n

1-q