问题
解答题
光在某处的照度与光源的强度成正比，与光源距离的平方成反比．强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为6，在线段AB（除去端点）上有一点P，设PA=x．
（1）求x的值，使光源A与光源B在点P产生相等的照度；
（2）若“总照度”等于各照度之和．
①求出点P的“总照度”I（x）的表达式；
②求最小“总照度”与相应的x值．
答案
（1）由题意知，点P受光源A的照度为
，受光源B的照度为8k x2
，其中k为比例常数；k (6-x)2
∵光源A与光源B在点P产生相等的照度，
∴
=8k x2
，k (6-x)2
由0＜x＜6，得x=2
（6-x），2
∴x=
；48-12 2 7
（2）①点P的“总照度”I（x）=
+8k x2
（0＜x＜6），k (6-x)2
②由I′（x）=-
+16k x3
，且I'（x）=0，解得x=4．2k (6-x)3
所以，0＜x＜4时，I'（x）＜0，I（x）在（0，4）上单调递减；
当4＜x＜6时，I（x）＜0，I（x）在（4，6）上单调递增；
因此，=4时，I（x）取得最小值为
．3k 4