问题
解答题
已知一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为
（1）将长方体的体积V表示为其中一条棱长x的函数关系，并写出定义域； （2）求体积的最大、最小值； （3）求体积最大时三棱长度． |
答案
（1）设三条棱长分别为：x，y，z，则x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=
…（1分）16 27
得yz=
-x(y+z)=8 27
-x(1-x)，8 27
∴V=x(
-x+x2)=x3-x2+8 27
x…（4分）8 27
又∵y+z=1-x，yz=
-x(1-x)，8 27
∴y、z是方程m2-(1-x)m+
-x+x2=0的两根8 27
得△≥0 1-x＞0
-x+x2＞08 27
≤x≤1 9 5 9
∴V=x3-x2+
x（ 8 27
≤x≤1 9
）．…（6分）5 9
（2）V′=3x2-2x+
=0，得x=8 27
或x=2 9
…（8分）4 9
当x=
或x=1 9
时，V有最小值4 9
，16 729
当x=
或x=2 9
时，V有最大值5 9
．…（10分）20 729
（3）当V有最大值时，三棱长分别为：
，5 9
，2 9
． …（12分）2 9