设{an}为等比数列，Sn为其前n项和，已知an+1=2Sn+1．（Ⅰ）求{a

问题解答题

设{a_n}为等比数列，S_n为其前n项和，已知a_n+1=2S_n+1．

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和H_n．

答案

（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，

∴a_n=2S_n-1+1，（n≥2）

∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，（n≥2）

∴a_n+1=3a_n，（n≥2），

∴q=3．

对于a_n+1=2S_n+1令n=1，可得a₂=2a₁+1=3a₁，

解得a₁=1，

∴an=3n-1．

（Ⅱ）nan=n•3n-1，

Hn=1+2•3+3•32+…+n•3n-1 ①

3Hn=3+2•32+3•33+…+n•3n ②

①-②得-2Hn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=

1-3n

1-3

-n•3n，

∴Hn=

2n-1

×3n+

．