问题
解答题
学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义； （2）已知2x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义
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答案
（1）∵f(t)=
×100%，且f（2）=60%3 4+a•2-t
×100%=60%，可得a=43 4+a•2-t
∴f（t）=
，(t≥0)3 4(1+2-t)
∴f(0)=
=3 4(1+1)
=37.5%3 8
f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% （4分）
（2）令学习效率指数y=
，f(t) t
y=
=f(t) t
=3 4t(1+2-t)
（t＞0）3 4(t+
)t 2t
现研究g(t)=
+t 的单调性t 2t
g′(t)=1+
=2t-t•2tln2 2t
（t＞0）（6分）2t-tln2+1 2t
又已知x＞0时，2x＞xln2恒成立
所以2t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上为增函数且g（t）为正数
∴y=
=f(t) t
在(0，+∞ )上为减函数． （8分）3 4(t+
)t 2t
而y|t=1=
=f(1) 1
，y|t=2=1 2
=f(2) 2 3 10
∴y=
∈(f(t) t
，3 10
)1 2
故所求学习效率指数的取值范围是（
，3 10
） （10分）1 2