问题
解答题
建造一个容积为8m3深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低．
答案
（1）设总造价为y元，一边长为xm，则y=4×120+2(
×2+x×2)×80，4 x
即：y=(
+x)×320+480定义域为（0，+∞）；4 x
（2）函数y=(
+x)×320+480在（0，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；4 x
用定义证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
则y1-y2=(
+x1)×320+480-(4 x1
+x2)×320-4804 x2
=320(
-4 x1
+x1-x2)4 x2
=320
，(x1-x2)(x1x2-4) x1x2
①当0＜x1＜x2≤2时，x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2-4＜0；
∴y1-y2＞0，即y1＞y2；
∴该函数在（0，2]上单调递减；
②当2≤x1＜x2时，x1-x2＜0，x1x2＞4，即x1x2-4＞0；
∴y1-y2＜0，即y1＜y2，
∴该函数在[2，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知当x=2时，函数有最小值ymin=f（2）=1760（元）
即：当水池的长与宽都为2m时，总造价最低，为1760元．