A公司为支付货款，向B公司签发了一张金额为200万元的银行承兑汇票，某商业银行作为承兑人在票面上签章。B公司收到该汇票后将其背书转让给C公司，以偿还所欠C公司的租金，但未在被背书人栏内记载C公司的名称。C公司欠D公司一笔应付账款，遂直接将D公司记载为B公司的被背书人，并将该汇票交给D公司。
D公司随后又将该汇票背书转让给E公司，用于偿付工程款，并于票据上注明：“工程验收合格则转让生效。”
D公司与E公司因工程存在严重质量问题，未能验收合格而发生纠纷。纠纷期间，E公司为支付广告费，欲将该汇票背书转让给F公司。F公司负责人知悉D公司与E公司之间存在工程纠纷，对该汇票产生疑虑，遂要求E公司之关联企业G公司与F公司签订了一份保证合同。该保证合同约定，G公司就E公司对F公司承担的票据责任提供连带责任保证。但是，G公司未在汇票上记载任何内容，亦未签章。
F公司于汇票到期日向银行提示付款，银行以A公司未在该行存入足额资金为由拒绝付款。F公司遂向C公司、D公司、E公司、G公司追索。
要求：
根据上述内容，分别回答下列问题：
C公司是否应向F公司承担票据责任？并说明理由。
