问题
解答题
若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．
（1）证明：数列{an-2}为等比数列；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．
答案
（1）∵Sn+an=2n，①
∴Sn-1+an-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2an-an-1=2，n≥2，∴2（an-2）=an-1-2，n≥2，
∵a1-2=-1，
∴数列{an-2}以-1为首项，
为公比的等比数列．1 2
（2）由（1）得an-2=-(
)n-1，∴an=2-(1 2
)n-1，1 2
∵Sn+an=2n，∴Sn=2n-an=2n-2+(
)n-1，1 2
∴Tn=[0+(
)0]+[2+(1 2
)]+…+[2n-2+(1 2
)n-1]1 2
=[0+2+…+(2n-2)]+[(
)0+(1 2
)+…+(1 2
)n-1]1 2
=
+n(2n-2) 2
=n2-n+2-(1-(
)n1 2 1- 1 2
)n-1．1 2