当各项均为正数的等比数列{a_n}的公比q=1时，

1

S 2m

+

1

S 2n

=

1

(ma1)2

+

1

(na1)2

=

1

a12

（

1

m2

+

1

n2

）≥

1

a12

×

2

mn

，

∵m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，

∴2p≥2

mn

，

∴

2

p2

≤

2

mn

，

∴

1

a12

•

2

p2

≤

1

a12

•

2

mn

，又

2

S 2p

=

1

a12

•

2

p2

；

∴

1

S 2m

+

1

S 2n

≥

2

S 2p

；

当q≠1时，

1

S 2m

=

(1-q)2

a12(1-qm)2

，

1

S 2n

=

(1-q)2

a12(1-qn)2

，

1

S 2p

=

(1-q)2

a12(1-qp)2

，

要证

1

S 2m

+

1

S 2n

≥

2

S 2p

，只需证

1

(1-qm)2

+

1

(1-qn)2

≥

2

(1-qp)2

．

∵

1

(1-qm)2

+

1

(1-qn)2

≥

2

(1-qm)(1-qn)

，

∴只需证（1-q^m）•（1-qⁿ）≤（1-q^p）²，

即证-q^m-qⁿ+q^m+n≤-2q^p+q^2p，∵m+n=2p，

∴只需证q^m+qⁿ≥2q^p．

∵q^m+qⁿ≥2

qm•qn

=2

qm+n

=2q

m+n

2

=2q^p成立，

∴q≠1时，原结论成立．

综上所述，

1

S 2m

+

1

S 2n

≥

2

S 2p

．