问题
解答题
建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2
（1）求总造价关于底面一边长的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值．
答案
（1）设底边一边长为xm，总造价为y元，则
由题意，知底面面积为4m2，则底面另一边长为
m，4 x
∴y=120×4+80×(4x+4×
)=480+320(x+4 x
)，x∈（0，+∞）4 x
（2）当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+
)是单调递减的函数，证明如下：4 x
设0＜x1＜x2＜2，则f(x1)-f(x2)=320(x1+
)-320(x2+4 x1
)=320[(x1-x2)+(4 x2
-4 x1
)]4 x2
=320[(x1-x2)+
]=320×4(x2-x1) x1x2 (x1-x2)(x1x2-4) x1x2
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0，即f（x1）-f（x2）＞0
故当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+
)是单调递减的函数4 x
同理可证明当x＞2时，y=f(x)=480+320(x+
)是单调递增的函数4 x
∴当x=2时，y=f(x)=480+320(x+
)在（0，+∞）上取到最小值，4 x
最小值为f(2)=480+320(2+
)=1760元4 2
答：（1）总造价y元关于底面一边长xm的函数解析式为y=480+320(x+
)，此时此函数的定义域为（0，+∞）（2）总造价的最小值为1760元．4 x
