已知函数f（x）=2x+1定义在R上．
（1）若存在，使得f（x）+f（-x）=a成立，求实数a的取值范围；
（2）若可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）若对任意x∈[1，2]都有p（t）≥m2-m-1成立，求实数m的取值范围．
（1）依题意有a=2x+1+2-x+1，
即关于x的方程a=2•2x+有解．…（2分）
而2•2x+≥2=4，当且仅当2•2x=，即x=0时等号成立，故实数a的取值范围是[4，+∞）．（4分）
（2）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x） 为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②得g(x)=，h(x)=（5分）
∵f（x）定义在R上，
∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)．∴满足g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
又∵f（x）=2x+1，
∴g(x)===2x+h(x)===2x-．（7分）
由2x-=t，则t∈R，平方，
得t2=(2x-)2=22x+-2，∴g(2x)=22x+=t2+2，
故p（t）=t2+2mt+m2-m+1．（9分）
（3）∵t=h（x）在x∈[1，2]上是增函数，（10分）
∴≤t≤．（12分）
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[，]恒成立，
∴m≥-=-(+)对于t∈[，]恒成立（14分）
令φ(t)=-(+)，则+≥，
当且仅当t=时等号成立，而∉[，]，
∴函数φ(t)=-(+)在t∈[，]上是减函数，
∴φ(t)max=φ()=-，故m≥-．（16分）
