问题
解答题
有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员4a（40＜a＜120，a∈Z）人，每人每年可创纯利5万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创纯利0.1万元，但公司需付下岗职员生活费等每人每年4万元，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的
（Ⅰ）若该公司裁减x人，可获得的经济效益为y万元，求y关于x的函数关系式； （Ⅱ）该公司为获得最大的经济效益，应裁员多少人？ |
答案
（ I）设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y=（4a-x）（5+0.1x）-4x．
整理得y=-
[x2-2(2a-45)x]+20a…（5分）1 10
又由该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的
，3 4
所以4a-x≥
×4a，即0＜x≤a…（7分）3 4
（Ⅱ）因函数y=-
[x2-2(2a-45)x]+20a的对称轴方程为x=2a-45．1 10
由二次函数的图象可知：
当x＜2a-45时，函数y=-
[x2-2(2a-45)x]+20a是递增的；1 10
当x＞2a-45时，函数y=-
[x2-2(2a-45)x]+20a是递减的．1 10
∵0＜x≤a．且40＜a≤120
∴①当0＜2a-45≤a，即40＜a≤45时，x=2a-45时，
函数y=-
[x2-2(2a-45)x]+20a取得最大值…（10分）1 10
②当2a-45＞a，即45＜a＜120时，x=a时，
函数y=-
[x2-2(2a-45)x]+20a取得最大值…（12分）1 10
综上所述：当40＜a≤45时，应裁员（2a-45）人；当45＜a＜120时，应裁员a人，公司才能获得最大的经济效益…（13分）