问题
解答题
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，
（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；
（2）若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。
答案
解：设  的公差为d，由 ，知 ， （ ） |
（1）因为 |
所以 |
 |
所以 。 |
（2） |
由 |
所以 |
解得 或 |
但 |
所以 |
因为i是正整数，
所以
是整数，即q是整数，
设数列
中任意一项为
设数列
中某一项
=
现在只要证明存在正整数m，使得
，即在方程
m中有正整数解即可，
所以
若
，则
那么
当
时，因为
只要考虑
的情况
因为
所以
因此q是正整数，
所以m是正整数，
因此数列
中任意一项为
与数列
的第
项相等，
从而结论成立。
（3）设数列
中有三项
成等差数列，则有
设
所以
令
则
∵
所以
所以
（舍去负值）
即存在
使得
中有三项
成等差数列。