问题
解答题
是否存在函数f（x），使下 * * 个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由．
答案
∵f（x）＞0，x∈N且f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N
∴可设f（x）=cx（c＞0，c≠1，x∈N），满足cx＞0且ca+b=ca•cb
∵f（2）=4
∴c2=4⇒c=2（舍负）
所以存在f（x）=2x，符合题设的三个条件．
以下用数学归纳法证明，对任意的x∈N时，都有f（x）=2x成立．
（1）当x=1时，f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=[f（1）]2=4，
又∵x∈N时，f（x）＞0，
∴f（1）=2=21，结论正确．
（2）假设x=k（k∈N*）时，有f（k）=2k，
则x=k+1时，f（k+1）=f（k）•f（1）=2k•2=2k+1，
∴x=k+1时，结论正确．
综上所述，对于一切自然数x，都有f（x）=2x成立．