某地西红柿上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=a•bx,②f(x)=ax2+bx+1,③f(x)=x(x-b)2+a,(以上三式中a,b均是不为零的常数,且b>1)
(1)为了准确研究其价格走势,应选择哪种价格模拟函数,为什么?
(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数的定义域是[0,5]).其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此类推;为保证该地的经济收益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该西红柿将在哪几个月份内价格下跌.
(1)依题意,符合本题函数模型的函数必须先单调递增,再单调递减,最后单调递增,所以最符合的函数模型为③f(x)=x(x-b)2+a.
分析:∵f(x)=x(x-b)2+a=x3-2bx2+b2x+a.
对此函数求导,得
f′(x)=3x2-4bx+b2=3(x-b)(x-
),b 3
由f′(x)=0,得x1=b,x2=
.由b>1知,b 3
f(x)在(-∞,
]和[b,+∞)上单调递增,在(b 3
,b)上单调递减,符合题意.b 3
(2)将f(0)=4,f(2)=6代入f(x)=x(x-b)2+a=x3-2bx2+b2x+a.得
,解得f(0)=a=4 f(2)=8-8b+2b2+4=6
.a=4 b=3
∴f(x)=x3-6x2+9x+4(x∈[0,5]).
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),
由(1)得f(x)在(1,3)上单调递减,
依题意,可以预测这种西红柿将在9,10两月份价格下跌.