问题
解答题
某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持(
（1）将y表示为x的函数； （2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度． |
答案
（1）依题意，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，
即 y=2150+10×55+(
x2+a 6
x)×(55-1)1 3 x
=
+9ax+18 （0＜x≤20，2700 x
≤a≤1）1 2
（2）令
=9ax，得x=2700 x
，又由300 a
=20，得a=300 a 3 4
∴①当
≤a≤1时，3 4
≤20300 a
由均值定理知当且仅当x=
时，y=300 a
+9ax+18≥22700 x
+18=180
×9ax2700 x
+183a
即当x=
时，ymin=180300 a
+183a
②当
≤a＜1 2
时，3 4
＞20300 a
∵y′=-
+9a＜0，（0＜x≤20）2700 x2
∴函数y=
+9ax+18在（0，20]上是减函数，2700 x
∴当x=20时，ymin=
+180a+18=153+180a2700 20
答：若
≤a＜1 2
，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若3 4
≤a≤1，则当车队速度为3 4
m/s时，通过隧道所用时间最少300 a