问题
解答题
已知函数f(x)=1+a•(
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域； （2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）a=1时，f(x)=1+(
)x+(1 2
)x，1 4
∵f（x）在（-∞，0）上递减，∴f（x）＞f（0），
∴f（x）∈（3，+∞）．
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3⇔-4-(
)x≤a(1 4
)x≤2-(1 2
)x1 4
⇔-4•2x-(
)x≤a≤2•2x-(1 2
)x，1 2
∵2•2x-(
)x在[0，+∞）上单调递增，1 2
∴2•2x-(
)x≥1；1 2
令g（x）=⇔-4•2x-(
)x（x≥0），g′（x）=-4ln2•2x-(1 2
)xln2=1 2
＜0，ln2(1-4•2x) 2x
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）=-5．
由-4•2x-(
)x≤a≤2•2x-(1 2
)x恒成立，得-5≤a≤1．1 2
所以实数a的取值范围为[-5，1]．
