（1）∵∀x∈R，都有2^x＞0，

∴2^x+1＞1，

故函数f（x）=

2x-1

2x+1

的定义域为实数集R．

∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，

而2^x＞0，

∴2^x+1＞1，

∴0＜

2

2x+1

＜2，

∴-2＜-

2

2x+1

＜0，

∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．

即-1＜f（x）＜1．

∴函数f（x）的值域为（-1，1）．

（3）∀x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，

∵2＞1，∴2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，

∴f（x₁）＜f（x₂），

∴函数f（x）在实数集R上单调递增．