问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形； （2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-
（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止． （i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求实数a的取值范围； （ii）如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值 |
答案
（1）设P（xo，yo）是函数y=f（x）图象上一点，则yo=
，xo+1-a a-xo
点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x0，-2-y0）．
∵f(2a-xo)=
=2a-x0+1-a a-2a+x0
，-2-yo=a-x0+1 x0-a a-x0+1 x0-a
∴-2-y0=f（2a-x0）．即P′点在函数y=f（x）的图象上．
所以，函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+
]=3 2
•a-x+1 a-x
=a+2-x 2(a-x)
.(x-a-1)(x-a-2) 2(a-x)2
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）2＞0，
∴[f(x)+2][f(x)+
]≤0，∴-2≤f(x)≤-3 2
.3 2
（3）（i）根据题意，只需x≠a时，f（x）=x有解.即
=x有解，x+1-a a-x
即x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此时，x分别为-2或0．符合题意．综上，a≤-3或a≥1．
（ii）根据题意，知：x≠a时，
=a无解，x+1-a a-x
即x≠a时，（1+a）x=a2+a-1无解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，对于任意x∈R．（1+a）x=a2+a-1无解．∴a=-1．