问题
解答题
已知函数f(x)=(
（1）若f-1（mx2+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f2（x）-2af（x）+3的最小值g（a）． （3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由． |
答案
（1）∵f-1(x)=log
x（x＞0），…（2分）1 3
∴f-1(mx2+mx+1)=log
(mx2+mx+1)，1 3
由题知，mx2+mx+1＞0恒成立，
∴10 当m=0时，1＞0满足题意；…（3分）
20 当m≠0时，应有
⇒0＜m＜4，m＞0 △=m2-4m＜0
∴实数m的取值范围为0≤m＜4．…（5分）
（2）∵x∈[-1，1]，∴(
)x∈[1 3
，3]，1 3
y=f2（x）-2af（x）+3=[(
)x]2-2a(1 3
)x+3=[(1 3
)x-a]2+3-a2，…（7分）1 3
当a＜
时，ymin=g(a)=1 3
-28 9
；2a 3
当
≤a≤3时，ymin=g（a）=3-a2；1 3
当a＞3时，ymin=g（a）=12-6a．
∴g(a)=
．
-28 9
(a＜2a 3
)1 3 3-a2 (
≤a≤3)1 3 12-6a (a＞3)
（3）∵m＞n＞3，∴g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是减函数．
∵g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，
∴
，12-6m=n2 12-6n=m2
…（12分）① ②
②-①得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6．但这与“m＞n＞3”矛盾．
∴满足题意的m、n不存在． …（14分）