某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日

问题解答题

某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：
方案一：建设两个日处理污水量分别为x_l和x₂（单位：万m³/d）的污水厂，且3≤x_l≤5，3≤x₂≤5．
方案二：建设一个日处理污水量为x_l+x₂（单位：万m³/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为P=40x²；
（2）每处理1m³的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为：Q=

0.4(6≤x≤10)

0.6(3≤x≤5)

．
（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？
（Ⅱ）若x_l+x₂=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？
注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用．

答案

（Ⅰ）如果仅考虑建设费用，若使用方案一：P₁=40

+40

，

若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40

+40

+80x1x2

∵3≤x_l≤5，3≤x₂≤5，∴P₂＞P₁．

故使用方案一更经济．

（Ⅱ）由题意，运行n年后，Q1=40

+0.6x1×250n+40

+0.6x2×250n，

Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，

由Q₁≥Q₂，化为0.2（x₁+x₂）×250n≥80x₁x₂，

∵x₁+x₂=8，∴5n≥x₁x₂，∴5n≥x₁（8-x₁）．

∵x₁∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-

+8x1=-(x1-4)2+16，∴x₁（8-x₁）∈[15，16]，

∴当x₁=3或5时，即x₁（8-x₁）=15，经过3年方案二与方案一的总费用相等．

当x₁∈（3，5]时，x₁（8-x₁）∈（15，15]，只需经过4年方案二的总费用就少于方案一的总费用．