125°或55°

分①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．

解：①如图1，

△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，

∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，

在△ABD中，∵∠A=55°，

∴∠ABD=90°-55°=35°，

∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=35°+90°=135°；

②△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，

∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，

∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），

∴∠BHC=∠A=55°，

综上所述，∠BHC的度数是135°或55°．