问题 解答题
(1)已知矩阵M=
20
0
1
2
,矩阵M对应的变换把曲线y=x2变为曲线C,求C的方程.
(2)已知a,b,c为正实数,求证:
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
答案

(1)设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=x2上的点P0(x0,y0)在矩阵M变换下的对应点,

则有(x,y)=(x0,y0)M,

∵矩阵M=

20
0
1
2
,代入可得
x=2x0
y=
1
2
y0

x0=
1
2
x
y0=2y

∵点P0在曲线y=x2上,

∴2y=

1
4
x2

∴C的方程为x2=8y;

(2)由于a,b,c为正实数,根据平均值不等式可得

1
a3
+
1
b3
+
1
c3
3
abc

1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc≥2
3

即证.

单项选择题
解答题