问题 解答题

.设函数f(x)=-a+x+a,x∈(0,1],a∈R*.

(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;

(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.

答案

(1)由f(x)在(0,1]上为增函数,知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立,即a≤在(0,1]上恒成立,故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.

(2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论,分0<a≤及a>两种情况,当0<a≤时,由(1)知f(x)在(0,1]上为增函数,可求最大值,当a>时,可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点.

[解析] (1)f′(x)=-a·+1.

因为f(x)在(0,1]上是增函数,

所以f′(x)=-+1≥0在(0,1]上恒成立,

即a≤=在(0,1]上恒成立,

而在(0,1]上的最小值为,

又因为a∈R*,所以0<a≤.

(2)由(1)知:①当0<a≤时,f(x)在(0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=(1-)a+1;

②当a>时,令f′(x)=0,得x=∈(0,1],

因为当0<x<时,f′(x)>0,

当<x≤1时,f′(x)<0,

所以f(x)在点x=处取得极大值,

即为f=+a

=+a=a-,

故f(x)max=a-.

综上,当0<a≤时,f(x)max=(1-)a+1;

当a>时,f(x)max=a-.

[点评] ①已知f(x)在[a,b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a,b]时,f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,求单调区间时,令f′(x)>0(或f′(x)<0).②求f(x)的最大值时,要比较端点处函数值与极值的大小.当f′(x)的符号不确定时,可对待定系数进行分类讨论.

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