问题
解答题
函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=
(Ⅰ)求f2(x),f3(x); (Ⅱ)猜想fn(x)的解析式,并用数学归纳法证明. |
答案
(Ⅰ)∵f1(x)=
(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)],x 1+x2
∴f2(x)=f1[f1(x)]=
=f1(x) 1+f12(x)
=x 1+x2 1+ x2 1+x2
,x 1+2x2
f3(x)=f1[f2(x)]=
=f2(x) 1+f22(x)
=x 1+2x2 1+ x2 1+2x2
,…x 1+3x2
(Ⅱ)猜想fn(x)=
.x 1+nx2
下面用数学归纳法证明:
1°当n=1时,猜想成立.
2°假设n=k时猜想成立,即有fk(x)=
,x 1+kx2
那么fk+1(x)=f1[fk(x)]=
=fk(x) 1+fk2(x)
=x 1+kx2 1+ x2 1+kx2
,x 1+(k+1)x2
这就是说,当n=k+1时,猜想也成立.
由1°2°可知,猜想对n∈N*均成立.
故fn(x)=
.x 1+nx2