问题 解答题
函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=
x
1+x2
(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)].
(Ⅰ)求f2(x),f3(x);
(Ⅱ)猜想fn(x)的解析式,并用数学归纳法证明.
答案

(Ⅰ)∵f1(x)=

x
1+x2
(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)],

∴f2(x)=f1[f1(x)]=

f1(x)
1+f12(x)
=
x
1+x2
1+
x2
1+x2
=
x
1+2x2

f3(x)=f1[f2(x)]=

f2(x)
1+f22(x)
=
x
1+2x2
1+
x2
1+2x2
=
x
1+3x2
,…

(Ⅱ)猜想fn(x)=

x
1+nx2

下面用数学归纳法证明:

1°当n=1时,猜想成立.

2°假设n=k时猜想成立,即有fk(x)=

x
1+kx2

那么fk+1(x)=f1[fk(x)]=

fk(x)
1+fk2(x)
=
x
1+kx2
1+
x2
1+kx2
=
x
1+(k+1)x2

这就是说,当n=k+1时,猜想也成立.

由1°2°可知,猜想对n∈N*均成立.

故fn(x)=

x
1+nx2

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