（1）∵S₁=a₁=

1

2

，2S_n=S_nS_n-1+1（n≥2），

∴2S₂=S₂S₁+1=

1

2

S₂+1，

∴S₂=

2

3

；

∴2S₃=S₃S₂+1=

2

3

S₃+1，

∴S₃=

3

4

；

（2）由S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，可猜想S_n=

n

n+1

；

证明：①当n=1时，S₁=

1

2

，等式成立；

②假设n=k时，S_k=

k

k+1

，

则n=k+1时，∵2S_k+1=S_k+1•S_k+1=

k

k+1

•S_k+1+1，

∴（2-

k

k+1

）S_k+1=1，

∴S_k+1=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N^*，均有S_n=

n

n+1

．