对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
（1）写出S3的所有可能值； （2）若生成数列{an}的通项公式为an=
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
|
（1）由已知，a1=
，|an|=1 2
（n∈N*，n≥2），1 2n
∴a2=±
，a3=±1 4
，1 8
由于
+1 2
+1 4
=1 8
，7 8
+1 2
-1 4
=1 8
，5 8
-1 2
+1 4
=1 8
，3 8
-1 2
-1 4
=1 8 1 8
∴S3可能值为
，1 8
，3 8
，5 8
．7 8
（2）∵an=
，k∈N
，n=3k+11 2n -
，n≠3k+11 2n
∴n=3k（k∈N*）时，Sn=（
-1 21
-1 22
）+（1 23
-1 24
-1 25
）+…+（1 26
-1 23k-2
-1 23k-1
）1 23k
=（
+1 21
+…+1 24
）-（1 23k-2
+1 22
+…+1 25
）-（1 23k-1
+1 23
+1 26
）1 23k
=
-
[1-(1 2
)k]1 23 1- 1 23
-
[1-(1 22
)k]1 23 1- 1 23
[1-(1 23
)k]1 23 1- 1 23
=
[1-(8 7
)k]（1 8
-1 2
-1 4
）1 8
=
[1-(1 7
)n]；1 2
n=3k+1（k∈N）时，Sn=Sn-1+an=
[1-(1 7
)n]+1 2
=1 2n
[1+5(1 7
)n]；1 2
n=3k+2（k∈N）时，Sn=Sn+1-an+1=
[1-(1 7
)n+1]+1 2
=1 2n+1
[1+3(1 7
)n]；1 2
∴Sn=
(k∈N)．
(1-1 7
)，n=3k1 2n
(1+1 7
)，n=3k+15 2n
(1+1 7
)，n=3k+23 2n
（3）①n=1时，S1=
，命题成立．1 2
②假设n=k（k≥1）时命题成立，即Sk所有可能值集合为：{x|x=
，m∈N*，m≤2k-1}2m-1 2k
由假设，Sk=
（m∈N*，m≤2k-1），2m-1 2k
则当n=k+1，Sk+1=
±1 2
±1 22
±…+1 23
±1 2k
=Sk±1 2k+1
=1 2k+1
，2k+1Sk±1 2k+1
又Sk+1=
=2k+1Sk±1 2k+1
（m∈N*，m≤2k-1），2(2m-1)±1 2k+1
即Sk+1=
或Sk+1=2×(2m-1)-1 2k+1
（m∈N*，m≤2k-1）2×(2m)-1 2k+1
即Sk+1=
（m∈N*，m≤2k）∴n=k+1时，命题成立．2m-1 2k+1
由①②，n∈N*，Sn所有可能值集合为{x|x=
，m∈N*，m≤2n-1}．2m-1 2n