定义：同时满足下列两个条件的数列{an} 叫做“上凸有界数列”，

问题解答题

定义：同时满足下列两个条件的数列{a_n} 叫做“上凸有界数列”，①

an+an+2

≤an+1②a_n≤M，M是与n无关的常数．
（I）若数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，试判断数列{a_n} 是否为上凸有界数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，T_n为其前n项和，且b₃=4，T₃=18，试证明：数列{T_n}为上凸有界数列．

答案

（I）n=1时，a₁=s₁=2-1=1

n≥2时a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1

∴a_n=2^n-1

显然a_n=2^n-1是递增数列，故不存在常数M，使a_n≤M成立

∴数列{a_n} 不是上凸有界数列

（II）设{b_n}的公差为d，则

b1+2d=4

3b1+

3×2

d=18

解得b₁=8，d=-2

∴T_n=8n+

n(n-1)

(-2)=-n²+9n

∵

Tn+Tn+2

-Tn+1=

(Tn+2-Tn+1)-(Tn+1-Tn)

bn+2-bn+1

=-1＜0

∴

Tn+Tn+2

≤Tn+1，即{T_n}满足条件①

又T_n=-n²+9n=-（n-

）²+

当n=4或5时T_n取最大值20，即T_n≤20，满足条件②

综上数列{T_n}为上凸有界数列