证明：（1）当n=1时，等式左边=

1

2×4

=

1

8

，等式右边=

1

4(1+1)

=

1

8

，∴等式成立．

（2）假设n=k（k≥1．k∈N^*）时等式成立，

即

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

++

1

2k(2k+2)

=

k

4(k+1)

成立，

那么当n=k+1时，

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

++

1

2k(2k+2)

+

1

2(k+1)[2(k+1)+2]

=

k

4(k+1)

+

1

4(k+1)(k+2)

=

k(k+2)+1

4(k+1)(k+2)

=

(k+1)2

4(k+1)(k+2)

=

k+1

4[(k+1)+1]

即n=k+1时等式成立．由（1）、（2）可知，对任意n∈N^*等式均成立．