已知f(x)=4+1x2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn（an，1an+1

问题解答题

已知f(x)=

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，

an+1

）（n∈N^*）在曲线y=f（x）上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为T_n，且

Tn+1

an2

an+12

+16n2-8n-3，求数列{b_n}的通项公式b_n．

答案

（1）由题意知

an+1

an2

．

∴

an+12

=4+

an2

．

∴

an+12

an2

=4，即{

an2

}是等差数列．

∴

an2

a12

+4（n-1）=1+4n-4=4n-3．

∴an2=

4n-3

．

又∵a_n＞0，

∴an=

4n-3

．

（2）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．

∴

Tn+1

4n+1

4n-3

=1．

设

4n-3

=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1．

∴{c_n}是等差数列．

∴c_n=c₁+n-1=

+n-1=b₁+n-1=n．

∴

4n-3

=n，即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．

∴当n=1时，b_n=T₁=1；

当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．

经验证n=1时也适合上式．

∴b_n=8n-7（n∈N^*）．