（1）∵f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²，

∴f（1）=1•2²=4，

f（2）=1•2²+2•3²=22，

f（3）1•2²+2•3²+3•4²=70；

（2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

12

(an2+bn+c)对一切自然数n都成立，

则f（1）=

1×2

12

（a+b+c）=4，

∴a+b+c=24①，

同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，

由f（3）=70得9a+3b+c=70③

联立①②③，解得a=3，b=11，c=10．

∴f（n）=

n(n+1)

12

（3n²+11n+10）．

证明：1°当n=1时，显然成立；

2°假设n=k时，f（k）=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

12

，

则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]²

=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

12

+（k+1）[（k+1）+1]2

=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+17k+24）

=

(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)

12

=

(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]

12

，

即n=k+1时，结论也成立．

综合1°，2°知，存在常数a=3，b=11，c=10使得f（n）=

n(n+1)

12

（3n²+11n+10）对一切自然数n都成立．