问题
解答题
当n∈N*时，Sn=1-
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2； （Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明． |
答案
（Ⅰ）∵当n∈N*时，Sn=1-
+1 2
-1 3
+…+1 4
-1 2n-1
，Tn=1 2n
+1 n+1
+1 n+2
+…+1 n+3
．1 2n
∴S1=1-
=1 2
，S2=1-1 2
+1 2
-1 3
=1 4
，T1=7 12
=1 1+1
，T2=1 2
+1 2+1
=1 2+2
（2分）7 12
（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
+1 2
-1 3
+…+1 4
-1 2n-1
=1 2n
+1 n+1
+1 n+2
+…+1 n+3 1 2n
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1-
+1 2
-1 3
+…+1 4
-1 2k-1
=1 2k
+1 k+1
+1 k+2
+…+1 k+3
（8分）1 2k
则：Sk+1=Sk+
-1 2k+1
=Tk+1 2(k+1)
-1 2k+1
（10分）1 2(k+1)
=
+1 k+1
+1 k+2
+…+1 k+3
+1 2k
-1 2k+1
（11分）1 2(k+1)
=
+1 k+2
+…+1 k+3
+1 2k
+（1 2k+1
-1 k+1
）1 2(k+1)
=
+1 (k+1)+1
+…+1 (k+1)+2
+1 2k+1
=Tk+1，1 2(k+1)
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）