问题 解答题
某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
,n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数,于是他猜想:是否存在常数a,b,1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1)(n+2)(an+b)
12
.对于一切n∈N*都立?
(1)若n=1,2时猜想成立,求实数a,b的值.
(2)若该同学的猜想成立,请你用数学归纳法证明.若不成立,说明理由.
答案

证明:(1)若n=1,2时猜想成立,

假设存在符合题意的常数a,b,

在等式1•22+2•32++n(n+1)2

=

n(n+1)(n+2)(an+b)
12
中,

令n=1,得4=

1
2
(a+b)①

令n=2,得22=2(2a+b)②

由①②解得a=3,b=5,

(2)于是,对于对于一切正整数n猜想都有

1•22+2•32++n(n+1)2=

n(n+1)
12
(3n2+11n+10)(*)成立.

下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.

(1)当n=1时,由上述知,(*)成立.

(2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立,

即1•22+2•32++k(k+1)2

=

k(k+1)
12
(3k2+11k+10),

那么当n=k+1时,

1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2

=

k(k+1)
12
(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2

=

(k+1)(k+2)
12
(3k2+5k+12k+24)

=

(k+1)(k+2)
12
[3(k+1)2+11(k+1)+10],

由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.

综上所述,当a=3,b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立.

单项选择题
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