问题
解答题
某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
(1)若n=1,2时猜想成立,求实数a,b的值. (2)若该同学的猜想成立,请你用数学归纳法证明.若不成立,说明理由. |
答案
证明:(1)若n=1,2时猜想成立,
假设存在符合题意的常数a,b,
在等式1•22+2•32++n(n+1)2
=
中,n(n+1)(n+2)(an+b) 12
令n=1,得4=
(a+b)①1 2
令n=2,得22=2(2a+b)②
由①②解得a=3,b=5,
(2)于是,对于对于一切正整数n猜想都有
1•22+2•32++n(n+1)2=
(3n2+11n+10)(*)成立.n(n+1) 12
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述知,(*)成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立,
即1•22+2•32++k(k+1)2
=
(3k2+11k+10),k(k+1) 12
那么当n=k+1时,
1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=
(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2k(k+1) 12
=
(3k2+5k+12k+24)(k+1)(k+2) 12
=
[3(k+1)2+11(k+1)+10],(k+1)(k+2) 12
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立.