已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均

问题解答题

已知数列{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，对于一切n∈N^*均有a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．

（1）计算a₁，a₂，a₃，并由此猜想{a_n}的通项公式a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

答案

（1）由

an+2

2Sn

得Sn=

(an+2)2

可求得a₁=2，a₂=6，a₃=10，…（5分）

由此猜想{a_n}的通项公式a_n=4n-2（n∈N₊）．…（7分）

（2）证明：①当n=1时，a₁=2，等式成立；…（9分）

②假设当n=k时，等式成立，即a_k=4k-2，…（11分）

∴ak+1=Sk+1-Sk=

(ak+1+2)2

(ak+2)2

∴（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k-4）=0，又a_k+1+a_k≠0

∴a_k+1-a_k-4=0，

∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4（k+1）-2

∴当n=k+1时，等式也成立．…（13分）

由①②可得a_n=4n-2（n∈N₊）成立．…（15分）