问题
解答题
已知函数f（x）=2x，
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围。
答案
解：（1）
，
令
因
故
当
时，
当
时，令
若
，
时，
取得最大值，
若
，
时
取得最大值，
若
，
时
取得最大值，
综上，
；
（2）令
则存在
使得
即存在
使得
所以
a的取值范围是
；
（3）因
是单调增函数，故由
得
问题转化为
对
恒成立
即
令
若
，必需且只需
，此时得
；
若
，必需且只需
，此时得
；
若
，必需且只需
，此时无解
综上得a的取值范围是
。