问题
填空题
若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(
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答案
∵函数f（x）满足f(
)=af(x)-x-1，（x≠0）1 x
∴以
代替x，得f(x)=af(1 x
)-1 x
-1，1 x
两式联解，得(a2-1)f(x)=ax+
+a+11 x
∵f（1）=1，∴令x=1，得a2-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合题意，舍去）
因此，f（x）=
+3x 8
+1 8x
，不等式f（x）≥x即1 2
+3x 8
+1 8x
≥x1 2
化简得5x2-4x-1≤0，解之得-
≤x≤11 5
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=
+3x 8
+1 8x
，x∈（0，1]1 2
∵x＞0，可得
+3x 8
≥21 8x
=
×3x 8 1 8x 3 4
∴F（x）=
+3x 8
+1 8x
的最小值为1 2
+1 2
，当且仅当3 4
=3x 8
=1 8x
，即x=3 8
时取最小值3 3
综上所述，F（x）=
+3x 8
+1 8x
，x∈（0，1]的最小值是f（1 2
）=3 3
+1 2
，没有最大值．3 4
∴函数F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范围是[
+1 2
，+∞)3 4
故答案为：[
+1 2
，+∞)3 4