已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=an-1-3(an-1

问题解答题

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，an=

an-1-3 (an-1＞3)

4-an-1 (an-1≤3)

，
（1）当a=100时，填写下列列表格：

n	2	3	35	100
a_n

（2）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（3）令bn=

(-2)n

，Tn=b1+b2+…+bn，求证：当1＜a＜

时，Tn＜

4-3a

．

答案

（1）

n	2	3	35	100
a_n	97	94	3	1

（2）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，

从而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项）

(100+1)×34

+(3+1)×

=1717+132

=1849．

（3）当1＜a＜

时，因为an=

a，n为奇数

4-a，n为偶数

，

所以bn=

(-2)n

2 n

，n为奇数

4-a

，n为偶数

，

当n=2k，k∈N^*时，

T_n=b₁+b₂+…+b_2k

4-a

+…-

22k-1

4-a

22k

=-(

+…+

22k-1

)+(

4-a

+…+

4-a

22k

)

[1-(

)k ]

4-a

[1-(

)k ]

4-3a

[1-(

)k]．

因为1＜a＜

，所以

4-3a

[1-(

)k]＜

4-3a

，

当n=2k-1，k∈N^*时，

T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1

4-a

+…-

22k-1

＜-

4-a

2 3

4-a

+…-

22k-1

4-a

22k

＜

4-3a

．

所以Tn＜

4-3a

．