等差数列{an}中，a1=1，前n项和Sn满足条件S2nSn=4，n=1，2，…

问题解答题

等差数列{a_n} 中，a₁=1，前n项和S_n满足条件

S2n

=4，n=1，2，…，
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式和S_n；
（Ⅱ）记b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，

由

S2n

=4得

a1+a2

=4，

所以a₂=3a₁=3且d=a₂-a₁=2，

所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，

Sn=

n(a1+an)

n(1+2n-1)

=n2

（Ⅱ）由b_n=a_n•2^n-1，得b_n=（2n-1）•2^n-1．

所以T_n=1+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1 ①

2T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ ②

①-②得：-T_n=1+2•2+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ

=2（1+2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ-1

=2×

1×(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ-1

=2ⁿ•（3-2n）-3．

∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．