答案：A

分类讨论：①以OP为底时，点P的个数；②以AP为底时，点P的个数；③以AO为底边时，点P的个数．

解：因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：

①AO=AP（有一个）此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P；

②AO=OP（有两个）

此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择（AO=OP=R）

③AP=OP（一个）

作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．（利用中垂线性质）

综上所述，共有4个．

故选B．

本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质；解答该题时，利用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．