已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128，若bn=log2an，数列{bn

问题解答题

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128，若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．

（Ⅰ）求数列{b_n}的前n项和S_n；

（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

答案

（I）在等比数列{a_n}中，由a₅=a₂q³，又a₂=2，a₅=128，q³=64，

∴q=4，∴a_n=a₂q^n-2=2•4^n-2=2^2n-3，

∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3．b_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2•1-3）+（2•2-3）+（2•3-3）+…+（2•n-3）

=2（1+2+3+…+n）-3n=n²-2n

（II）由S_n＜2b_n，得n²-2n＜2（2n-3），即n²-6n+6＜0，

∴3-

＜n＜3+

又n∈N^*，

∴n=2，3，4

故原不等式的解集是{2，3，4}