问题 解答题

设a>1,函数f(x)=ax+1-2.

(1)求f(x)的反函数f-1(x);

(2)若f-1(x)在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值;

(3)若f-1(x)的图象不经过第二象限,求a的取值范围.

答案

(1)因为ax+1>0,

所以f(x)的值域是{y|y>-2}.(2分)

设y=ax+1-2,解得x=loga(y+2)-1,

则f-1(x)=loga(x+2)-1,{x|x>-2}.

(2)当a>1时,f-1(x)=loga(x+2)-1为(-2,+∞)上的增函数,(6分)

所以f-1(0)+f'(1)=0即(loga2-1)+(loga3-1)=0

解得a=

6

所以f(x)的反函数为f-1(x)=loga(x+2)-1,(x>-2).(4分)

(3)当a>1时,

函数f-1(x)是(-2,+∞)上的增函数,且经过定点(-1,-1).

所以f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上.(11分)

令loga(x+2)-1=0,解得x=a-2,

由a-2≥0,解得a≥2.(13分)

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