设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求

问题解答题

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足

+…+

=1-

，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：

4a1+6d=8a1+4d

a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，

解得a₁=1，d=2．

∴a_n=2n-1，n∈N^*．

（Ⅱ）由已知

+…+

=1-

，n∈N^*，得：

当n=1时，

，

当n≥2时，

=（1-

）-（1-

2n-1

）=

，显然，n=1时符合．

∴

，n∈N^{*
由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，n∈N^*．
∴b_n=
2n-1
2n
，n∈N^*．
又T_n=
1
2
+3
22+5
23+…+2n-1
2n，
∴
1
2
T_n=1
22+3
23+…+2n-3
2n+2n-1
2n+1，
两式相减得：
1
2
T_n=1
2+（2
22+2
23+…+2
2n）-2n-1
2n+1
=
3
2
-1
2n-1-2n-1
2n+1
∴T_n=3-
2n+3
2n
．}