解  （1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，解得b=1

从而有f(x)=

-2x+1

2x+1+a

又由f（1）=-f（-1）知

-2+1

4+a

=

- 1 2 +1

1+a

，解得a=2…..（4分）

（2）由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式易知f（x）在R上为减函数，f(x)＞-

1

2

，所以k=-

1

2

．…．（8分）

（3）解法一：由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式易知f（x）在R上为减函数，

又因f（x）是奇函数，从而不等式

f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）

因f（x）是R上的减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+k

即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0

从而△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

     …．（13分）