设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，

由题意可得

a1q4= 1 2 a1q5(1+q)=3

，解之可得得：a₁=

1

32

，q=2，

故其通项公式为a_n=

1

32

×2n-1=2^n-6．

记T_n=a₁+a₂+…+a_n=

1 32 (1-2n)

1-2

=

2n-1

25

，

S_n=a₁a₂…a_n=2^-5×2^-4…×2^n-6=2^-5-4+…+n-6=2

(n-11)n

2

．

由题意可得T_n＞S_n，即

2n-1

25

＞2

(n-11)n

2

，

化简得：2ⁿ-1＞2

1

2

n2-

11

2

n+5，即2ⁿ-2

1

2

n2-

11

2

n+5＞1，

因此只须n＞

1

2

n2-

11

2

n+5，即n²-13n+10＜0

解得

13- 129

2

＜n＜

13+ 129

2

，

由于n为正整数，因此n最大为

13+ 129

2

的整数部分，也就是12．

故答案为：12