问题
问答题
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆半径为2m．根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．
(Ⅰ)根据t时刻液面的面积，写出t与ψ(y)之间的关系式；
(Ⅱ)求曲线x=ψ(y)的方程．
(注：m表示长度单位：米，min表示时间单位：分)
答案
参考答案：(Ⅰ)设在时刻t液面的高度为y，则此时液面的面积为πψ2(y)=4π+πt，所以
t=ψ2(y)-4
(Ⅱ)方法①：液面的高度为y时，液体体积为[*]
上式两边对y求导，得
[*]
解此微分方程，得[*]
由ψ(0)=2得C=2，因此，所求曲线方程为[*]
方法②：利用微分元法
从时刻t到t+Δt，相应液面的高度由y到y+Δy．
在这段时间内，设液体体积的增加量ΔV，则
ΔV=注入容器内的液体体积=3Δt
ΔV≈πψ2(y)Δy，因而有πψ2(y)Δy≈3Δt，从而有[*]
在方程t=ψ2(y)-4两边对y求导得[*]
把此式代入[*]中并整理得
[*]此方程与方法①同．