问题 问答题

有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).


(Ⅰ)根据t时刻液面的面积,写出t与ψ(y)之间的关系式;
(Ⅱ)求曲线x=ψ(y)的方程.
(注:m表示长度单位:米,min表示时间单位:分)

答案

参考答案:(Ⅰ)设在时刻t液面的高度为y,则此时液面的面积为πψ2(y)=4π+πt,所以
t=ψ2(y)-4
(Ⅱ)方法①:液面的高度为y时,液体体积为[*]
上式两边对y求导,得
[*]
解此微分方程,得[*]
由ψ(0)=2得C=2,因此,所求曲线方程为[*]
方法②:利用微分元法
从时刻t到t+Δt,相应液面的高度由y到y+Δy.
在这段时间内,设液体体积的增加量ΔV,则
ΔV=注入容器内的液体体积=3Δt
ΔV≈πψ2(y)Δy,因而有πψ2(y)Δy≈3Δt,从而有[*]
在方程t=ψ2(y)-4两边对y求导得[*]
把此式代入[*]中并整理得
[*]此方程与方法①同.

阅读理解与欣赏

阅读下面的文言文,完成题目。

游钓台记

清·郑日奎

  钓台在浙东,汉严先生隐处也。先生风节,辉映千古。予夙慕之,思得一游为快。顾奉檄北上,草草行道中耳,非游也,然以为游,则亦游矣。

  舟发自常山,凡三百余里,山水皆有可观。第目之所及,未暇问名,颔之而已。惟诫舟子以过七里滩,必予告。越日,舟行万山中,忽睹云际双峰崭然秀峙,急呼舟子曰:“若非钓台耶?”曰:“然矣!”迫视之,所云两台,实两峰也。台东西峙,相距可数百步,陡起江干,数百仞不肯止。巉岩如高士并立,风致岸然。树多松,疏疏罗植,偃仰离奇各有态;倒影水中,又有如游龙百余,水流波动,势欲飞起。峰之下,先生祠堂在焉。意当日垂纶,应在是地,固无登峰求鱼之理也

  山既奇秀,境复幽倩,欲舣舟一登,而舟子固持不可。不能强,因致礼焉,遂行。于是足不及游而目游之。俯仰间,清风徐来,无名之香,四山俱至,则鼻游之。舟子谓滩水佳甚,试之良然,则舌游之。顷之,帆行峰转,瞻望弗及矣。返坐舟中,惝恍间如舍舟登陆,如披草寻磴,如振衣最高处,下瞰群山趋列,或秀静如文,或雄拔如武,大似云台诸将相,非不杰然卓立,觉视先生,悉在下风,盖神游之矣。日之夕矣,舟泊前渚。人稍定,呼舟子劳以酒,细询之曰:“若尝登钓台乎?山中之景何若?”舟子具能答之,于是乎并以耳游。噫嘻,快矣哉,是游乎!

  客或笑谓郑子足未出舟中一步游于何有嗟乎客不闻乎昔宗少文卧游五岳孙兴公遥赋天台皆未尝身历其地余今所得,较诸二子不多乎哉?故曰:以为游,则亦游矣。”客曰:“微子言,不及此。虽然,少文之画,兴公之文,盍处一焉以谢山灵?”余窃愧未之逮也,遂为之记。

  【注】①严先生:名严光,字子陵,东汉著名隐士。少年时很有才气,与刘秀(后来的汉光武帝)是同学好友。刘后来做了皇帝,多次征召其为谏议大臣,严子陵婉拒之并隐居富春江一带,终老于林泉间。

1.对下列句子中加粗词的解释,不正确的一项是(     )

A.未暇问名,之而已/颔:点头

B.视之,所云两台,实两峰也/迫:靠近

C.如草寻磴/披:分开 

D.觉先生,悉在下风/视:看待

2.下列各组句子中,加粗词的意义和用法不相同的—组是(     )

A.①子言,不及此/②夫人之力不及此

B.①不能强,致礼焉/②项王即日 ,留沛公

C.①峰下,先生祠堂在焉/②颓然就醉,不知日

D.①欲舣舟一登,舟子固持不可/②惜其用武不终也

3.下列对原文内容的分析和概括,不正确的—项是(     )

A.作者游历钓台,借助眼观、鼻嗅、舌品、耳闻,呈现出了其“神游”钓台的独特感受,形象地表现了自己对那里景象的喜爱之情。

B.钓台实际是两座高耸险峻的山峰,山上松树的影子倒映在江水中,就像一群游动的要飞起来的龙,严先生的祠堂就在山脚下。

C.山上景色优美,向往已久的作者很想登山游览,可是船夫不同意停船靠岸,一番争议,依然不从,作者向船夫致礼,表示道歉,方继续前行,登山游览。

D.这篇文章豪放之中有婉约之致,秀丽之中有清新之韵,其文气如行云流水,洋洋洒洒,造境写境,浑然天成。

4.翻译与断句。

(1)惟诫舟子以过七里滩,必予告。

 译文:____________________________________________

(2)意当日垂纶,应在是地,固无登峰求鱼之理也。

 译文:____________________________________________

(3)请用“/”给所选文段断句。

客或笑谓郑子足未出舟中一步游于何有嗟乎客不闻乎昔宗少文卧游五岳孙兴公遥赋天台皆未尝身历其地 

多项选择题