问题
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证：
(Ⅰ) 存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)=1-ξ
(Ⅱ)存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使f’(η)·f’(ζ)=1．
答案
参考答案：(Ⅰ)令φ(x)=f(x)-(1-x)，则φ(x)在[0，1]上连续，φ(0)=-1＜0，φ(1)=1＞0，故由零点存在定理，知存在ξ∈(0，1)，使[*]
(Ⅱ)由拉格朗日微分中值定理，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使
[*]
故 f’(η)·．f’(ζ)=1．
解析：
[分析]： 利用连续函数零点存在定理证明(Ⅰ)；再依据拉格朗日微分中值定理证明(Ⅱ)．