问题
问答题
设A，B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0，计算行列式|A*B-A*+B-E|．
答案
参考答案：|A*B-A*+B-E|=|A*(B-E)+(B-E)|
=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E||B-E|，
由aij=Aij(i，j=1，2，3)可知，AT=A*，于是
或|A|=1．
因为A≠O，不妨假定a11≠0，所以
，故|A|=1．
又由题设可知，A，B相似，所以A，B有相同的特征值，且|B|=|A|=1．
由|E+2B|=|E+3B|=0可知，B有特征值
，
设另外一个特征值为λ3，则有
，
所以A，B的特征值为
．
于是|A*+E|=|AT+E|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)
，
．
故
．